% Define document
\documentclass[11pt]{scrartcl}

% Import packages
\usepackage[dutch,english]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{caption}
\usepackage{listings}
\usepackage{parskip} % split paragraphs by vertical space
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{gensymb}
\usepackage{tabularx} % for multicolumns

\usepackage{tikz} 
\usetikzlibrary{calc,intersections,through,backgrounds}


% Begin document
\begin{document}
\selectlanguage{dutch}


%Add title
\title{Oefeningen TAI: \\
Oefenzitting 3: Ringen en Velden}
\date{}
\maketitle



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% About
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{About}
Uitwerking van oefenziting 3 van Toepassingen van Algebra in Informatica gedoceerd in de 3e Bachelor Informatica aan de KULeuven in 2012.

Latex code van dit document te vinden op:\\
SVN checkout: \texttt{https://oefenzittingen-tai.googlecode.com/svn/trunk/}\\
Google code: \texttt{https://code.google.com/p/oefenzittingen-tai/}

Credits: Peter Roelants, Wouter Schaekers
%TODO: put your name here

Te gebruiken op eigen risico!




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Oef 1 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Opgave 1}
Beschouw $\mathbb{Z}_{24} = <\mathbb{Z}_{24}, +, \bullet>$.

(a) Ga na of $I = \{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}$ in deze ring een ideaal is.

(b) Is $I$ een pricipaal ideaal? Zo ja, ga na welke elementen generatoren zijn.

(c) Is $I$ een priemideaal? Bepaal de quoti\"entring $\mathbb{Z}_{24}|{}_{I}$.

(d) Is $I$ een maximaal ideaal en zo ja, ga na dat de quoti\"entring een veld is en bepaal de karakteristiek ervan.

(e) (extra) Bewijs dat elk ideaal in $\mathbb{Z}_{n}$ een principaal ideaal is (voor elke $n$).




\subsection*{1: extra info}
Ringen: p.113 eerste deel cursus, p.3 tweede deel cursus.\\
Idealen: p.117 eerste deel cursus, p.4 tweede deel cursus.\\
Pricipaal ideaal: p.4 tweede deel cursus.\\
Priemideaal: p.6 tweede deel curus.\\
Quoti\"entring: p.118 eerste deel cursus, p.5 tweede deel cursus.\\
Maximaal ideaal: p.4 tweede deel cursus.\\
Velden: p.118 eerste deel cursus, p.8 tweede deel cursus.\\
Karakteristiek: p.119 eerste deel cursus, p.10 tweede deel cursus.




\subsection*{oplossing 1.(a)}
$I$ is een ideeal van $\mathbb{Z}_{24}$, want $I$ is een deelgroep van $\mathbb{Z}_{24}$, en veelvouden van 3 blijven veelvouden van 3.



\subsection*{oplossing 1.(b)}
Ja, $I$ is een pricipaal ideaal, de generatoren zijn: $\{ 3, 9, 15, 21 \}$.




\subsection*{oplossing 1.(c)}
Ja, $I$ is een priemideaal, de quotientRing is de volgende:
\[
 \begin{Bmatrix}
  \{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \} \\
  \{ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 \} \\
  \{ 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 \} \\
 \end{Bmatrix}
\]
($\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}$ is het neutraal element van de quoti\"entring.)




\subsection*{oplossing 1.(d)}
Ja, $I$ is een maximaal ideaal.
De quoti\"entring is een veld, namelijk het veld analoog aan $\mathbb{Z}_{3}$ [zie 1.c hierboven].

Zij $J \subset \mathbb{Z}_{24}$ een ideaal zodat $ I \subset J \subset \mathbb{Z}_{24}$,\\
dan $\exists j \in J/I$ zodat: $ggd(3,j) = 1 \overset{\text{Bezout}}{\Rightarrow}  \exists a,b \in \mathbb{Z}_{24}$, zodat $3a + jb = 1$.\\ 
Dus: $3a \in i \subset J$ en $jb \in J \Rightarrow 3a + jb = 1 \in J \Rightarrow J = \mathbb{Z}_{24}$

Er kan dus geen echt ideaal groter zijn dan $I$, dus is $I$ een maximaal ideaal.

(Stelling Bezout p.126 eerste deel cursus)





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Oef 2 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Opgave 2}
Bepaal van de volgende uitbreidingsstructuren de kardinaliteit en de dimensie van de uitbreiding. Ga ook na of het velden zijn.

(a) $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$

(b) $\mathbb{Z}_{5}[x]|_{(x^2 + 1)}$

(c) $\mathbb{Z}_{3}[x]|_{(x^4 + x^3 + x - 1)}$

(d) (extra) $\mathbb{Q}[x]|_{(x^3 - 5)}$

(e) (extra) $\mathbb{Z}_{3}[x]|_{(x^3 - 2x + 1)}$




\subsection*{2: extra info}
Uitbreidingen: p. 16 tweede deel cursus.\\
Ring van veeltermen: p.135 eerste deel cursus, p.11 tweede deel cursus.\\




\subsection*{oplossing 2.(a)}
$\sqrt[3]{2}$ is een wortel van volgende veelterm: $(x^3 -2)$, dewelke irreduceerbaar is in $\mathbb{Q}$.\\
$\Rightarrow$ de dimensie van de uitbreiding $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$.\\
$\Rightarrow$ de basis van de uitbreiding is: $\{ (\sqrt[3]{2})^0, (\sqrt[3]{2})^1, (\sqrt[3]{2})^2 \}$ = $\{ 1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2 \}$\\
Kardinaliteit: $|\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})| = |\mathbb{Q}|^3 = \infty$


\subsection*{oplossing 2.(b)}
$\mathbb{Z}_{5}[x]$ is de verzameling van veeltermen over $\mathbb{Z}_{5}$ (p.11 tweede deel cursus)\\
$\mathbb{Z}_{5}[x]|_{(x^2 + 1)}$ is de verzameling van nevenklassen die bij deling door $(x^2 + 1)$ dezelfde rest opleveren (p.15 tweede deel cursus).

Volgende stelling gebruiken: (p.15 tweede deel cursus).\\
($(x^2 + 1)$ is irreduceerbaar over $\mathbb{Z}_{5}$ $\Leftrightarrow$ $\mathbb{Z}_{5}[x]|_{(x^2 + 1)}$ is een veld) 

$\mathbb{F} = \mathbb{Z}_{5}[x]|_{(x^2 + 1)}$ ($\mathbb{F}$ is een verzameling van nevenklassen)\\
$\mathbb{F} = \{ a + bx | a,b \in  \mathbb{Z}_{5}\}$ (nevenklassen)(zie vb. 11 p.15 tweede deel cursus)\\
$[\mathbb{F}:\mathbb{Z}_{5}] = 2$ (dimensie)\\
$|\mathbb{F}| = |\mathbb{Z}_{5}|^2 = 25$ (kardinaliteit)\\
$(x^2 + 1) = (x^2 - 4) = (x+2)(x-2) = (x+2)(x+3) \Rightarrow$ $(x^2 + 1)$ is reduceerbaar over $\mathbb{Z}_{5}$ $\Rightarrow \mathbb{F}$ is geen veld


\subsection*{oplossing 2.(c)}
$\mathbb{F} = \mathbb{Z}_{3}[x]|_{(x^4 + x^3 + x -1)}$\\
$\mathbb{F} = \{ a + bx + cx^2 + dx^3 | a,b,c,d \in \mathbb{Z}_{3} \}$ (nevenklassen)\\
$[\mathbb{F}:\mathbb{Z}_{3}] = 4$ (dimensie)\\
$|\mathbb{F}| = |\mathbb{Z}_{3}|^4 = 3^4 = 81$ (kardinaliteit)\\
$(x^4 + x^3 + x -1) = (x^2 + 1)(x^2 + x + 2) \Rightarrow$ $(x^4 + x^3 + x -1)$ reduceerd $\mathbb{Z}_{3}$ $\Rightarrow$ $\mathbb{F}$ is geen veld

(er zijn maar 3 monische irreduceerbare veeltermen van graad 2 over $\mathbb{Z}_{3} : (x^2 + 1), (x^2 + x + 2), (x^2 + 2x + 2)$)



\subsection*{oplossing 2.(d)}
$\mathbb{F} = \mathbb{Q}[x]|_{(x^3 - 5)}$\\
$\mathbb{F} = \{ a + bx + cx^2 | a,b,c \in \mathbb{Q} \}$ (nevenklassen)\\
$[\mathbb{F}:\mathbb{Q}] = 3$ (dimensie)\\
$|\mathbb{F}| = |\mathbb{F}|^3 = \infty$ (kardinaliteit)\\
$(x^3 - 5)$ is irreduceerbaar in $\mathbb{Q}$ $\Rightarrow$ $\mathbb{F}$ is een veld


\subsection*{oplossing 2.(e)}
$\mathbb{F} = \mathbb{Z}_{3}[x]|_{(x^3 - 2x + 1)}$\\
$\mathbb{F} = \{ a + bx + cx^2 | a,b,c \in \mathbb{Z}_{3} \}$ (nevenklassen)\\
$[\mathbb{F}:\mathbb{Z}_{3}] = 3$ (dimensie)\\
$|\mathbb{F}| = |\mathbb{Z}_{3}|^3 = 3^3 = 27$ (kardinaliteit)\\
$(x^3 - 2x + 1) = (x + 2)(x^2 + x + 2)$\\
$\Rightarrow (x^3 - 2x + 1)$ is reduceerbaar in $\mathbb{Z}_{3}$ $\Rightarrow$ $\mathbb{F}$ is geen veld

(Irreduceerbare polynomen $\mathbb{Z}_{3}$:\\
Graad 1: $x, (x + 1), (x + 2)$\\
Graad 2: $(x^2 + 1), (x^2 + x + 2), (x^2 + 2x + 2)$\\
Graad 3: $(x^3 + 2x^2 + 1), 
(x^3 + x^2 + 2x + 1), 
(x^3 + 2x^2 + x + 1), 
(x^3 + 2x + 1), 
(x^3 + 2x^2 + 2x + 2), 
(x^3 + x^2 + 2), 
(x^3 + x^2 + x + 2), 
(x^3 + 2x + 2)$ )\\




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Oef 3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Opgave 3}
Construeer een splitsingsveld van $w(x)$ over $\mathbb{F}$ en ontbind $w(x)$ hierover in lineaire factoren:

(a) $w(x) = (1 + x + x^2)$ over $\mathbb{F} = \mathbb{Z}_{2}$

(b) $w(x) = (1 + x^16)(1 + x + x^2)$ over $\mathbb{F} = \mathbb{Z}_{2}$ (Gebruik stelling 22 p.20)

(c) $w(x) = (x^5 + x^4 + x + 1)$ over $\mathbb{F} = \mathbb{Z}_{3}$



\subsection*{3: extra info}
Splitsingsveld: p.19 tweede deel cursus.


\subsection*{oplossing 3.(a)}
$(1 + x + x^2)$ is niet reduceerbaar in $\mathbb{Z}_{2}$\\
$\mathbb{E} = \mathbb{Z}_{2}(\gamma)$ met $\gamma$ nulpunt van $(1 + x + x^2)$\\
Het andere nulpunt is dan $(\gamma + 1)$ want $(1 + (\gamma + 1) + (\gamma + 1)^2) = (1 + \gamma + \gamma^2) = 0$\\
Dus: $w(x) = (x + \gamma)(x + \gamma + 1)$


(Irreduceerbare polynomen $\mathbb{Z}_{2}$:\\
Graad 1: $x, (x + 1)$\\
Graad 2: $(x^2 + x + 1)$\\
Graad 3: $(x^3 + x^2 + 1), (x^3 + x + 1)$ )


\subsection*{oplossing 3.(b)}
$(1 + x^16) \Rightarrow (1 + x)^16$ (Stelling 22 p.20)\\
$\Rightarrow$ $w(x) = (1 + x)^16 (x + \gamma)(x + \gamma + 1)$ (oef 3.a)



\subsection*{oplossing 3.(c)}
$(x^5 + x^4 + x + 1)$ is reduceerbaar in $\mathbb{Z}_{3}$, 2 is een nulpunt ($2^5 + 2^4 + 2 + 1 = 2 + 1 + 2 + 1 = 0$)\\
$\Rightarrow w(x) = (x + 1)(x^4 + 1)$\\
$(x^4 + 1)$ is niet reduceerbaar in $\mathbb{Z}_{3}$.\\
$\mathbb{E} = \mathbb{Z}_{3}(\gamma)$ met $\gamma$ nulpunt van $(x^4 + 1)$ $\Rightarrow (\gamma^4 + 1) = 0$\\
$\mathbb{E} = \{ 0,1,2,\gamma,1+\gamma,2+\gamma,2\gamma,1+2\gamma,2+2\gamma \}$ (bevat mogelijke andere nulpunten van $(x^4 + 1)$)\\
Andere nulpunten: $ \{ 2\gamma, (\gamma + 1), (2\gamma + 2)\}$\\
$\Rightarrow w(x) = (x + 1)(x + 2\gamma)(x + \gamma + 1)(x + 2\gamma + 2)(x + \gamma)$


\end{document}
